Calvage et Mounet Les séries divergentes, d'Euler à Ramanujan

Les séries divergentes, d'Euler à Ramanujan - Bernard Candelpergher - Calvage et Mounet - broché - Scolaire / Universitaire

Les séries inspirent joie et bonheur à beaucoup de mathématiciens ; c'est qu'ils y voient le frémissement des premiers frôlements avec l'idée d'infini, mais aussi la naissance, tant repoussée, de l'Analyse. Euler, Bernoulli et Lagrange les avaient manipulées et en avaient révélé les premiers secrets, sans s'encombrer de la définition précise de la convergence, qui viendra plus tard avec Cauchy. Leur nécessaire présence, et tout l'enchantement qui en résulte, embrassait l'infini sans hésitation ni peur.Le présent livre commence par une introduction au problème de la sommation des séries, destinée à rendre ce sujet accessible au plus grand nombre. L'auteur poursuit avec la résolution par Euler du problème de Bâle et prend le chemin qui, au moyen des séries divergentes, conduisit notre mathématicien suisse à l'équation fonctionnelle de la fonction zêta. Ce faisant, on aura fait connaissance avec la transformation d'Abel et les nombres de Bernoulli, qui apparaissent naturellement dans le calcul de cette même fonction en les entiers pairs.Des notions un peu plus techniques arrivent avec les séries de Fourier. L'étude de ces séries va stimuler la recherche de divers procédés de sommation : le procédé de Cesàro, par moyenne de sommes partielles, qui est à la base du théorème de Fejér, le procédé de Poisson maintenant connu sous le terme de « sommation d'Abel », celui de Riemann qui permet de montrer le théorème d'unicité de Cantor sur les séries trigonométriques. L'auteur nous fait découvrir quelques méthodes de sommation parmi les plus utilisées, en examinant avec soin les liens entre certaines de ces sommations et la convergence usuelle, ce qui a donné naissance aux « théorèmes taubériens », dont le plus fameux concerne la répartition des nombres premiers.Mais le coeur de cet ouvrage est l'exposé de la méthode de sommation que Srinivasa Ramanujan a initialement fondée sur la formule d'Euler-Maclaurin. Elle figure dans ses grimoires sous la forme d'une succession de formu...

Ce livre traite de l'etude des series, initiée par les travaux de Fermat, Leibniz, Euler, Lagrange, Cauchy,... Les series de Fourier ont par la suite stimule la recherche de procedes de sommation. L'auteur examine, de manière plus systematique, quelques procedes de sommation parmi les plus utilises. L'utilisation de ces procedes a permis de donner un sens à des calculs sur les series divergentes. Ces calculs pouvaient aboutir à des absurdites, mais paradoxalement, donnaient parfois des resultats interessants. La deuxième partie de ce livre est consacree à une interpretation du procede de sommation des series que Ramanujan utilisait.

Ce livre traite de l'étude des séries, initiée par les travaux de Fermat, Leibniz, Euler, Lagrange, Cauchy,... Les séries de Fourier ont par la suite stimulé la recherche de procédés de sommation. L'auteur examine, de manière plus systématique, quelques procédés de sommation parmi les plus utilisés. L'utilisation de ces procédés a permis de donner un sens à des calculs sur les séries divergentes. Ces calculs pouvaient aboutir à des absurdités, mais paradoxalement, donnaient parfois des résultats intéressants. La deuxie?me partie de ce livre est consacrée à une interprétation du procédé de sommation des séries que Ramanujan utilisait.

Les séries divergentes, d'Euler à Ramanujan Bernard Candelpergher (Auteur) - Paru le 9/21/2023 chez Calvage et Mounet