Calvage et Mounet Théorie des ensembles comme fondement des mathématiques (1)

Théorie des ensembles comme fondement des mathématiques (1) Théorie naïve et théorie basique - Martial Leroy - Calvage et Mounet - broché - Scolaire / Universitaire

Ce livre est le premier d'une série de quatre volumes consacrée à la théorie des ensembles moderne. Même si elle constitue un sujet à part entière, la théorie des ensembles sert de fondement à la quasi-totalité des mathématiques telles que nous les pratiquons aujourd'hui. C'est ce que l'auteur s'emploie à nous expliquer dans un premier temps. Après avoir montré l'insuffisance de la théorie naïve des ensembles de Dedekind, Frege et Cantor, on insiste sur la nécessité de formuler une théorie des ensembles axiomatisée. On découvre alors les premiers axiomes de ZFC (théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel avec axiome du Choix), et l'on explique comment l'intégralité de l'édifice mathématique peut être entièrement formalisée dans le monde de ZFC. Les derniers axiomes permettent de donner un sens rigoureux aux notions fondamentales d'ordinal et de cardinal. On donne ensuite diverses variantes de l'axiome du choix, ainsi qu'un certain nombre d'applications, en particulier dans le domaine des filtres et ultrafiltres, ainsi qu'à des questions non triviales de cardinalité. Le livre se termine par une étude de la hiérarchie cumulative, l'énoncé de l'axiome de fondation, et la preuve du schéma de réflexion.Le texte est enrichi de bon nombre de réflexions d'ordre historique et philosophique, qui en rendent la lecture plus agréable, et ce, dès le niveau L1.Le volume 2 sera consacré aux théorèmes de complétude et d'incomplétude de Gödel, à l'étude fine des modèles de ZFC, et à la découverte de diverses techniques de preuves d'indépendance. Au volume 3 on découvrira la théorie descriptive des ensembles et la hiérarchie des grands cardinaux. Enfin, le volume 4 se concentrera sur un certain nombre de théories alternatives à ZFC.

La théorie des ensembles est le fondement par essence de l'édifice mathématique. Dans le sillage des travaux de Dedekind, Cantor et Russell, l'auteur montre l'inconsistance de la théorie naïve. Il introduit ensuite les bases de logique nécessaires à la mise en oeuvre de l'axiomatique de Zermelo-Frankel. Sont alors discutés les axiomes de la théorie, ce qui permet d'introduire les notions d'ordinal et de cardinal. Les théorèmes les plus classiques, en particulier ceux qui reposent sur l'axiome du choix, sont abordés dans ce volume, lequel s'achève sur la hiérarchie cumulative, l'axiome de fondation et le schéma de réflexion. Des considérations historiques et philosophiques viennent enrichir l'exposé et rendre la lecture de ces mathématiques passionnantes à la portée de toute personne curieuse et motivée.

La théorie des ensembles est le fondement par essence de l'édifice mathématique. Dans le sillage des travaux de Dedekind, Cantor et Russell,l'auteur montre l'inconsistance de la théorie naïve. Il introduit ensuite les bases de logique nécessaires à la mise en oeuvre de l'axiomatique de Zermelo-Frankel. Sont alors discutés les axiomes de la théorie, ce qui permet d'introduire les notions d'ordinal et de cardinal. Les théorèmes les plus classiques, en particulier ceux qui reposent sur l'axiome du choix, sont abordés dans ce volume, lequel s'achève sur la hiérarchie cumulative, l'axiome de fondation et le schéma de réflexion. Des considérations historiques et philosophiques viennent enrichir l'exposé et rendre la lecture de ces mathématiques passionnantes à la portée de toute personne curieuse et motivée.

Théorie des ensembles comme fondement des mathématiques (1) Martial Leroy (Auteur) - Paru le 7/4/2024 chez Calvage et Mounet